二重积分怎么计算？
二重积分公式是：∫∫f(x,y)dxdy。x、y是未知数，分量，dx、dy是对应的分量的微元；两个的书写顺序可以随机交换。f(x,y)是被积函数，既然是二重积分，被积函数肯定是跟两个分量有关的，也可以只有其中一个分量，或者常数都行。
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
延伸阅读
二重积分极限定义？
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
二重积分解法？
二重积分计算的关键是对变量积分的区间的确定，积分区域分为矩形区域，X-型区域和Y-型区域。X-型区域=D[a<=x<=b,y1(x)<=y<=y2(x)],方法是：将区域D图形投影在X轴上，投影区间为[a,b],既a<=x<=b； 任取x属于[a,b],过x轴上点x，作x轴垂线，与区域D图形边界曲线交于两点，下交点[x,y1(x)]和上交点[x,y2(x)],既下交点在曲线y=y1(x)上，上交点在y=y2(x) 上，从而y1(x)<=y<=y2(x)，此时
先对y积分，后对x积分。y-型区域方法相同。
二重定积分的计算方法？
把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量比如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。
计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽可能的转化为累次积分。
为此，必须注意：选取适合坐标，是否分域，如何定限。计算二重积分的主要方法有：利用对称性、奇偶性、变量替换、几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等能大大简化二重积分的计算，只要方法选得适当，二重积分的运算量就会小很多。
二重积分的现实（物理）含义：面积×物理量＝二重积分值；
举例说明：二重积分的现实（物理）含义：
二重积分计算平面面积，即：面积×1＝平面面积；二重积分计算立体体积，即：底面积×高＝立体体积；二重积分计算平面薄皮质量，即：面积×面密度＝平面薄皮质量。
扩展资料：
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
二重积分化简？
计算二重积分的基本思路是将其化作累次积分(也即两次定积分)，要把二重积分化为累次积分，有两个主要的方式：一是直接使用直角坐标，二是使用极坐标。这是我们计算二重积分的两个主要的武器。
首先，对直角坐标来说，主要考点有两个：一是积分次序的选择，基本原则有两个：一是看区域，选择的积分次序一定要便于定限，说得更具体一点，也就是要尽量避免分类讨论;二是看函数，要尽量使第一步的积分简单，选择积分次序的最终目的，肯定是希望是积分尽可能地好算一些。
实践表明，大多数时候，只要让二重积分第一步的积分尽可能简单，那整个积分过程也会比较简洁，所以我们在拿到一个二重积分之后，可以根据它的被积函数考虑一下第一步把哪个变量看成常数更有利于计算，从而确定积分次序。二是定限，完成定限之后，二重积分就被化为了两次定积分，就可以直接计算了。
二重积分四个性质？
性质1
函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2
被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ
(k为常数）
性质3
如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论
∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣f(x,y）∣dσ
性质4
设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5
如果在有界闭区域D上f(x,y)=1,
σ为D的面积，则σ=∫∫dσ
性质6
二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ
谁能清楚的告诉我二重积分到底怎么算？
计算方法有两大类：
1、利用直角坐标计算
X型积分区域
Y型积分区域
2、利用极坐标计算（当被积函数出现x^2+y^2时优先考虑）
要点：
二重积分的计算一般要化成累次积分来计算
做题时要会利用积分区域的对称性
会利于被积函数的奇偶性
要会交换坐标系
计算技巧：第一步：先画积分区域，并观察积分区域是不是关于某个坐标轴对称，有对称性解题会方便很多！第二步：利用合适的坐标系进行计算，是选直角坐标还是选极坐标，是选X型还是Y型还是r-θ型，并考虑被积函数是否有奇偶性！二重积分是二元函数在空间上的积分，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。同定积分类似。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的曲面上进行积分，称为曲面积分。
二重积分定义的证明？
二重积分的概念
Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处不可导。
与定积分概念密切相连：分割，求和，取极限。
分划成为网状分割，每个交点处横截
横截性：函数在P点横截，如果两个切线方程的线性子空间的维数等于2。
模仿定积分，给出二重积分的定义。如果记λ=max{Di的直径}
事实：
有界闭区域上连续的二元函数是可积的。
有界闭区间上分片有界连续函数可积。
性质：
线性空间的性质。
积分区域可加。
不等式保序。
特例|?f(x,y)dσ|≤?|f(x,y)|dσ
积分中值定理
重（二重）积分的计算
原则：把二重积分化成累次积分。
直角坐标系下的计算
先积x，y中更整齐的那一维。
先积那一维取决于简便性（菱形例）
我们可以利用累次积分的思路解决复杂定积分的问题。
例 换一个维度进行二重积分，从而把其中的ey2可以先看成常数，便于操作。
I=∫b0dx∫axey2dy=?Dey2dxdy=∫a0dy∫y0ey2dx=∫a0ey2ydy
然后就可以凑微分
极坐标系下的计算
引入：为了解决高斯积分
适合用二重积分解决的三种典型模型
环形，不规则星形，极点在边界曲线上。（有曲边，能由这几类问题组合而成）
例 由y=x,y=2x,x2+y2=4x,x2+y2=8x围成的面积。
不适合用极坐标的例子
边界非常直的问题（直线的极坐标方程都相对繁琐）。
例 由y=x,y=0,x=1围成的面积
积分区域和被积函数的取舍？
整洁的区域和优美的函数只能选择一个
例 I=?Ddxdy(a2+x2+y2)32D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a}主要矛盾是相对复杂的表达式与有限的计算能力的矛盾。化成极坐标方程下求解。
高斯积分的求解
三重积分
两种求解思路：
先定(x,y)求z坐标区间（外层二重积分）。
先定x坐标，切出一系列平面（内层二重积分）。
对换与轮换
几种坐标变换：
柱坐标（每个面都极坐标）、球坐标（进一步吸纳极坐标只有一个长度量的特性）、一般变换（雅可比式）。
重积分的应用
二重积分：面积，曲顶柱体的体积。
三重积分：体积，两曲面之间的体积。
椭圆型的积分
椭圆型的积分，不采取从负到正的积分限（如果出现这种情况，一般可以直接使用椭圆面积公式，或者是想错了）
通常可以使用广义极坐标变换，这使得极径的上下限极其简明。
轮换
求解重积分时的轮换只能解决类似表达式不复求的问题（比如求柱体转动惯量的x,y分量时）。
与之相较，曲线曲面积分是由等式所决定的，在区域对函数来讲高度对称的时候，使用轮换方法可以化简求解式，从而大大降低复杂度。
例球面x2+y2+z2=a2和平面x+y+z=0的交曲线，若要求∫Lx2ds可以利用13a2ds来考虑
