什么是容斥原理？
容斥原理
容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理（1）
如果被计数的事物
有a、b两类，那么，a类或b类元素个数= a类元素个数+
b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数。
例1
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“a类元素”，“语文得满分”称为“b类元素”，“语、数都是满分”称为“既是a类又是b类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“a类或b类元素个数”的总和。
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。）
容斥原理（2）
如果被计数的事物有a、b、c三类，那么，a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+
b类元素个数+c类元素个数—既是a类又是b类的元素个数—既是a类又是c类的元素个数—既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数。
例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？
例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成a类元素和b类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是a类又是b类的元素”。求的是“a类或b类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？
分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短路、游泳、投掷
1718156652
求这个班的学生共有多少人？
分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。
试一试：一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？
延伸阅读
二集合容斥原理？
1，二集合容斥原理公式：W＝FV。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2，集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
小学容斥原理的三大公式？
容斥原理的三大公式:①A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
②I=A∪B∪C+D=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+D
③I=A∪B∪C+D=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素+D
容斥原理公式？
容斥原理三个公式：A∪B=A+B-A∩B，A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C，
S＝A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
容斥原理的本质和二集合容斥原理是一样的，只不过由于又多了一个集合，公式和图形描述都变得更加复杂。其中A和B是两个集合，A表示集合A中的元素个数。在理解容斥原理时，完全可以把元素的个数类比做图形的面积。
小学奥数容斥原理的类型及解法？
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
即：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-AB
三集合容斥非标准公式原理？
三集合容斥非标准型公式是A+B+C－（AB+BC+AC）+ABC＝总数－都不。三集合标准型是指把一个整体分成三部分，且告知两两相交的地方，并有三者都满足的，这样的题就是三集合标准型。
因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
生活中常见的容斥原理？
容斥原理是在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人。
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。
