网友提问：
数学中的“无理数”是怎么来的？
优质回答：
这基本上是一个失了传的问题。看了前边几个人的回答，基本都是在说什么是无理数，没回答是怎么来的。我估计题主是在问为什么会出现无理数这么一个东西。我还相信历史上未曾有人认真回答过这个问题，因为要真正回答这个问题，不可避免地要回答数是什么。而数这东西太古老了，我们不知道它的历史，更难受的是的我们甚至不知道到底是什么。古人没有给我们留下来它是什么的记载，后人也没问，所以这问题就失传了。这是历史问题，也许是哲学史问题，顶多算是个数学哲学问题，但绝不是数学问题。因此，无论我的回答多么离谱，多么的不可思议，请数学家或数学爱好者们冷静。我不能说我研究过数，因为数没有可以研究的对象，我只能说我思考过什么是数问题。其实问题并不复杂，因为古人没那么多脑子跟现代人兜圈子玩。但说起来并不容易，这里原因就多了。我只想简单说：有理数是被计数事物的等量物的符号。在几何中，有理数的等量物是矩形，而非线段，线段只是那个矩形的一个边长。最基本的数是分数。分数的等量物是有长和宽的数面，分母就是宽的倒数。自然数的等量物是宽度为1的数带，我们叫它“数带数”，数带数是一种特殊的数。那么，自然数以及能够用自然数表示长和宽的分数是十分正常的，就是所谓可通约X，这就是后来的所谓有理数。毕达哥拉斯学派以为有些这数就够了，他们认为任何可计数的事物都可以用有理数与之对应，没想到会出现令他们用正常方法构造不出来的数，也就是后来的无理数。现在我们就说无理数是怎么来的：首先无理数不是为了计数事物而特意去把它构造出来的。无理数是由另一种特殊的数的算术算出来的。宽度始终等于长度的数方就是另一种特殊的数的等量物，我们叫他“数方数”。其实，毕达哥拉斯定理就是这种数方数的算术规则。这个规则说：两个边长为1的正方形的和的正方形边长为√2。哈~，这超出了有理数的意义，也超出了数做为被计数事物等量物符号所定义的范围。它不是被计数事物的等量物，自然数以及分数自然也就无法作为他的符号了，数学的第一次危机由此而生，解决这个危机办法是人们提出了无理数的概念。无理数就是这么来的。前面我提到数的定义时强调的是有理数，若把无理数包含进去，数的定义应该怎么下，我还没想过。不过问题既然已经解决，这也就不重要了，数是什么的问题失传的太多了，不在乎这一点。
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数学上的解释其他答案已经很详细了。我在这里说说“无理数”这个词怎么来的。
可以追溯的(可能)最早的一个相关词汇是古希腊文
把古希腊字母作简单对应译成罗马字母(拉丁字母)，就是logos，其大意是逻辑论证的说服方法。
在拉丁文中义译该词，则是ratio，有三个含义: 推理、计算、方法。其中推理一义与古希腊相符，另两义为额外的引申。
发展到英文，ratio的笫二意义计算演变为明确的数学概念“比值”，就是两个数量的相对大小。而第一个意义推理演变为“合理的”rational一词。注意ratio和rational的词根仍是相同的。
数学上提出有理数/无理数概念后，命名有理数为rational number，其实是取ratio比值之意，即可写为两整数比值的数。那无理数就叫irrational number，开头的前缀ir-如常见的in-和im-一样表示否定。
这两个英文数学术语之后传到了日本。日本人以为rational是取了“合理的”这个常规意义，而不知其实是由ratio比值一词而来，于是错误地把它译成有理数和无理数。
这两个错误的翻译最后传入我国，被原封不动抄袭过来，成为我们教材中的专业术语。造化弄人! 其实正确的名称本应该是整比数和非整比数。
做民科，还得学院派。不喜者可喷，无学士勿扰。
其他网友回答
无理数，是相对于有理数来说的。在实数中，只存在有理数和无理数。无理数是无法用分数和整数表示的，它是无限位小数位，但是却不循环，无穷无尽。
无理数是由毕达哥拉斯的徒弟希博斯发现的，毕达哥拉斯曾经认为所有的数都能够用整数和分数来表示。而希博斯在无意间，画一个边长为1的正方形的时候，想用一个数来表示其对角线的长度。但是他始终无法用一个分数来表示出它的长度，由此√2就出现了，但是毕达哥拉斯却仍然让认为只有整数和分数，无理数不存在。最后希博斯由于把无理数告诉了透露给了外人，破坏了学派规矩，故被处死。
无理数的出现是数学的第一次危机，让当时的人很难理解，故而让毕达哥拉斯学派无法接受，直到后来，人们才将这个危机解决了。随后第二次数学危机便是对极限的提出和理解。主要是理解无穷小量，当时在讨论无穷小量到底是不是0，如果是，那怎么能做分母呢。所以直到后来，柯西将极限结合，解决了这个问题。
