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肺炎疫情让年味儿多了不少焦虑,走亲访友都成了奢望。与其冒着被感染的风险出门或聚会,倒不如宅在家里最踏实。
热爱学习的同学们,宅在家里,学点通信原理吧。
本文主要介绍MATLAB中FFT函数的使用,对于FFT|DFT的原理未有提及,需要的同学去文末自取。
目录
引言以正弦信号为例频域表示绘制DFT生值图根据归一化频率轴绘制原始值归一化频率轴、调整为正负频率FFT求功率谱密度结论01引言
FFT是Fast Fourier Transform,快速傅里叶变换的缩写。
傅里叶变换可以让我们,由时域分析转入变换域(频域)分析。
毫无疑问,我们的实验对象是常见的标准信号。
教材中使用的标准信号有:正弦、余弦、高斯脉冲、方波、孤立矩形脉冲、指数衰减、Chirp信号。
在频域分析之前,我们需要思考如XMATLAB中产生这些标准信号。
02以正弦信号为例
为了在MATLAB中产生正弦波,第一步是固定正弦波的频率f。
例如,我打算生成一个f = 10Hz的正弦波,其最小振幅和最大振幅分别为-1v和1v。
因为MATLAB是一种处理数字比特的软件,所以既然已经确定了正弦波的频率,下一步就是确定采样率。
根据Nyquist Shannon定理,为了产生/绘制平滑的正弦波,采样率必须远远高于规定的最小所需采样率,该采样率至少是频率f的两倍。
这里选择了30的过采样倍数,这是为了绘制一个平滑的连续的正弦波。
因此,采样率为f_s=30倍f=300Hz。
如果正弦波需要相移,那就单独定义一个初相位。
图1 正弦信号,5个周期,频率为10Hz
% 产生正弦波形f = 10; %正弦波频率,单位Hz | frequency of sine waveoverSampRate = 30; %采样倍率 | oversampling ratefs = overSampRate*f; %采样频率 | sampling frequencyphase = 1/3*pi; %初始相位 | desired phase shift in radiansnCyl = 5; %显示的周期个数 | to generate five cycles of sine wavet = 0:1/fs:nCyl*1/f; %时间向量 | time basеx = sin(2*pi*f*t+phase); %这里也可以替换为cos函数 | replace with cos if a cosine wave is desiredplot(t,x);title(['正弦波 f=', num2str(f), 'Hz']);xlabel('时间(s)');ylabel('幅度');
03频域表示
我们在频域上也可以表示给定信号。就是通过快速傅里叶变换(FFT)来实现的。
MATLAB中FFT(x,n)可以计算n点的DFT。
一般在DFT计算中的点数n取为2的幂,以方便FFT的有效计算。
这里选择n=1024的值。
fft – 快速傅里叶变换
此 MATLAB 函数 用快速傅里叶变换 (fft) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。 如果 X 是向量,则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。
如果 X 是矩阵,则 fft(X) 将 X 的各列视为向量,并返回每列的傅里叶变换。 如果 X 是一个X数组,则 fft(X) 将沿大小不等于 1
的第一个数组维度的值视为向量,并返回每个向量的傅里叶变换。
Y = fft(X)
Y = fft(X,n)
Y = fft(X,n,dim)
由于FFT只是n点DFT的数值计算,所以有很多方法来绘制结果。
04绘制DFT生值图
所谓的生值图2,就是DFT的原始值:x轴从0到n-1,表示n个样本值。
由于DFT值是复数,所以DFT abs(X)的大小被绘制在y轴上。
从这个图2中,频率轴(X轴)就是简单的0到1023,共计1024个点。看起来和"频率"没啥关系,就是1024个点计算DFT。
图2 FFT函数输出值,直接画图,注意横坐标为样本点
NFFT=1024; % NFFT点DFT | NFFT-point DFT X=fft(x,NFFT); %使用FFT计算FFT | compute DFT using FFT nVals=0:NFFT-1; %DFT样本点 | DFT Sample points plot(nVals,abs(X)); title('双边FFT-无移动 | Double Sided FFT - without FFTShift'); xlabel('样本点 | Sample points (N-point DFT)') ylabel('DFT值 | DFT Values');
05根据归一化频率轴绘制原始值
将频率轴(x轴)归一化。
只需将x轴上的样本索引除以FFT的长度n,这使x轴相对于采样率f_s规范化。
然而,我们仍然不能从图3中找出正弦的频率。
图3 把频率归一化,就是除以样本点总数
NFFT=1024; %NFFT点DFT | NFFT-point DFT X=fft(x,NFFT); %使用FFT计算FFT | compute DFT using FFT nVals=(0:NFFT-1)/NFFT; %归一化DFT样本点 | Normalized DFT Sample points plot(nVals,abs(X)); title('双边FFT-无移动 |Double Sided FFT - without FFTShift'); xlabel('归一化频率 | Normalized Frequency') ylabel('DFT幅度值 | DFT Values');
06归一化频率轴、调整为正负频率
在频域中,由于引入了复指数函数,所以会有正、负频率轴。
所以,为了在具有正值和负值的频率轴上绘制DFT值,样本索引0处的DFT值必须作为数组中心,然后"对称"到负频率轴。
这是通过在MATLAB中使用fftshift函数来完成的。
从-0.5到0.5的x轴。
fftshift – Shift zero-frequency component to center of spectrum
This MATLAB functiоn rearranges a Fourier transform X by shifting the
zero-frequency component to the center of the array.
Y = fftshift(X)
Y = fftshift(X,dim)
fftshiftt通过将零频率分量移动到阵列的中心,这个matlab函数重新排列一个傅里叶变换X。
图4 fftshiftt通过将零频率分量移动到阵列的中心
figureNFFT=1024; %%NFFT点DFT | NFFT-point DFT X=fftshift(fft(x,NFFT)); %使用FFT计算FFT | compute DFT using FFT fVals=(-NFFT/2:NFFT/2-1)/NFFT; %归一化DFT样本点 | DFT Sample points plot(fVals,abs(X)); title('双边FFT|Double Sided FFT - with FFTShift'); xlabel('归一化频率 | Normalized Frequency') ylabel('DFT幅度值 | DFT Values');
至此,横坐标都不能算“真正”的频率,而我们恰恰想要的是频率图。
所以,我们用fs/NFFT可以得到频率间隔△f。
从图5中,我们可以确定FFT绝对值的峰值在10Hz和-10Hz处。
因此,产生的正弦波的频率为10Hz。
这是我们只看频谱图5得出的结论,和我们仿真的一致。
在10Hz和-10Hz峰值旁边的小旁瓣是由于谱泄漏造成的(后续会说这个问题)
图5 将横坐标转换为频率
figureNFFT=1024; X=fftshift(fft(x,NFFT)); fVals=fs*(-NFFT/2:NFFT/2-1)/NFFT; plot(fVals,abs(X),'b'); title('Double Sided FFT - with FFTShift'); xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('|DFT Values|');
07FFT求功率谱密度
图6绘制了每个频率分量的功率。功率可以在线性标度或对数标度中绘制。
每个频率分量的能量计算为
P_x(f) = x(f) * x^*(f)
其中x(f)是信号x(t)的频域表示,x^*(f)是其共轭。
图6 功率谱密度
% 功率谱密度,频率移动,幅度值的模figureNFFT=1024;L=length(x); X=fftshift(fft(x,NFFT)); Px=X.*conj(X)/(NFFT*L); %计算每个频率分量的功率 | Power of each freq components fVals=fs*(-NFFT/2:NFFT/2-1)/NFFT; plot(fVals,Px,'r'); title('功率谱密度 | Power Spectral Density'); xlabel('频率 | Frequency (Hz)') ylabel('功率 | Power');
在对数log尺度上绘制PSD图,为信号处理中产生最常见的PSD图7。
% 功率谱密度,LOG表示,频率移动,幅度值的模figureNFFT=1024; L=length(x); X=fftshift(fft(x,NFFT)); Px=X.*conj(X)/(NFFT*L); %计算每个频率分量的功率| Power of each freq components fVals=fs*(-NFFT/2:NFFT/2-1)/NFFT; plot(fVals,10*log10(Px),'b'); title('功率谱密度 | Power Spectral Density'); xlabel('频率 | Frequency (Hz)') ylabel('功率 | Power');
图7 PSD功率谱密度,对数坐标
在图8中,省略了x轴的负频部分,只绘制了对应于n点DFT的0到n/2个样本点的FFT值。
相应地,归一化频率轴在0到0.5之间运行,绝对频率(x轴)从0到f_s/2。
图8 单边PSD
结论
关于FFT的使用,还有很多有趣的问题:比如谱泄露spectral leakage,采样点对FFT结果的影响等等。班长会在后续过程中与大家讨论,敬请期待。
相关文章参考
[1]Mathuranathan,"How to plot FFT using Matlab – FFT of basic signals : Sine and Cosine waves",July 16, 2014.
[2]库利-图基FFT算法,4G通信系统中使用了FFT算法进行时域频域切换
[3]OFDM技术:信号的产生为何与FFT算法有关?为什么要串并转换?
[4]想要画出正确的频谱图,不是直接调用MATLAB FFT函数那么简单
[5]傅里叶变换,是如何让我们抓狂的?
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